Rozwiązanie YT

od 18:45

Rozwiązanie klasyczne

Rzutowanie siły w pręcie AC na składową poziomą i pionową.

Równania równowagi statycznej dla węzła A. \begin{aligned} &\sum{Y}=0\\ &N_{AC}\cdot\sin30^{o}=0\\ &N_{AC}=2G\\ &\sum{X}=0\\ &-N_{AB}-N_{AC}\cdot\cos30^{o}=0\\ &N_{AB}=-2G\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &N_{AB}=-G\sqrt3\\ \end{aligned} Warunek wytrzymałościowy
Pręt AB \begin{aligned}&\sigma=|\frac{N}{A}|\le k\\ \\ &\sigma_{AB}=\frac{G\sqrt2}{a^{2}}\le 40 \ MPa\\ &\frac{50\cdot 10^{3}\cdot \sqrt3}{40\cdot 10^{6}}\le a^{2}\\ &a\ge \sqrt\frac{50\cdot 10^{3}\cdot \sqrt3}{40\cdot 10^{6}}\\ &a\ge 0,0465 \ m\\ &a=0,047 \ m=4,7 \ cm\\ \end{aligned} Pręt AC \begin{aligned} &\sigma_{AC}=\frac{2G}{\frac{\pi d^{2}}{4}}\le 160 \ MPa\\ &\frac{2\cdot 50\cdot 10^{3}\cdot 4}{160\cdot 10^{6}\cdot\pi}\le d^{2}\\ &d\ge \sqrt\frac{2\cdot 50\cdot 10^{3}\cdot 4}{160\cdot 10^{6}\cdot\pi}\\ &d\ge 0,0282 \ m\\ &d=0,03 \ m=3 \ cm\\ \end{aligned} Narysowanie planu przemieszczeń w celu obliczenia przemieszczenia poziomego i pionowego punktu A.
Odkładamy wydłużenia i skrócenia prętów (w ich osiach).

Obliczamy wydłużenie pręta AC (dodatnia siła w pręcie) oraz skrócenie pręta AB (siła ujemna - pręt ściskany). \begin{aligned} \Delta l &= \frac{Nl}{EA} \\ \Delta l_{AB} &= \frac{-50 \cdot \sqrt{3} \cdot 10^{3} \cdot 1.2}{E_{m} \cdot a^{2}} = \frac{-50 \cdot \sqrt{3} \cdot 10^{3} \cdot 1.2}{1.15 \cdot 10^{11} \cdot 0.047^{2}} = -4.09 \times 10^{-4} \ m = -0.409 \ mm \end{aligned} Obliczam długość pręta AC oraz jego wydłużenie. \begin{aligned} &\frac{1,2}{|AC|}=\cos30^{o} & \\ & |AC|=\frac{1,2}{\cos30^{o}}=1,386\\ &\Delta l_{AC}=\frac{50\cdot 2\cdot 10^{3}\cdot |AC|}{E_{s}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}}=\frac{50\cdot 2\cdot 10^{3}\cdot 1,386\cdot 4}{2,1\cdot 10^{11}\cdot\pi\cdot 0,03^{2}}=9,337\cdot 10^{-4} \ m=0,934 \ mm\\ \end{aligned} Zaznaczam dopuszczalną linię przemieszczeń wydłużonych/skróconych prętów i znajduję ich przecięcie - w to miejsce ostatecznie przemieści się punkt A.

Zauważam zielony trójkąt, opisuję dwa z jego boków jako a,b oraz zauważam że jest on podobny do małego trójkąta a', b', \( \Delta l_{AB} \).

Obliczam bok a. \begin{aligned} &a=a' + |\Delta l_{AC}|\\ &|\Delta l_{AC}|=0,934 \ mm\\ &\frac{|\Delta l_{AB}|}{a'}=\cos30^{o}\\ &a'=\frac{0,409}{\frac{\sqrt3}{2}}=0,47 \ mm\\ &a=0,47 + 0,934 = 1,404 \ mm \end{aligned} Obliczam bok b. \begin{aligned} &b=b' + \Delta_{y}\\ &\frac{b'}{a'}=sin30^{o}\\ &b'=0,47\cdot 0,5 = 0,235 \ mm\\ &\frac{a}{b}=\sin30^{o}\\ &b=\frac{a}{sin30^{o}}=\frac{1,404}{0,5}\\ &b=2,808 \ mm\\ \end{aligned} Obliczam przemieszczenie pionowe i poziome punktu A. \begin{aligned} &\Delta_{y}=b-b'\\ &\Delta_{y}=2,808 - 0,235 = 2,573 \ mm\\ &\Delta_{x}=\Delta l_{AB} = 1,438 \ mm\\ \end{aligned}