Warto zapoznać się ze wstępem teoretycznym odnośnie łuków kołowych. Ten wstęp jest oparty o częściowe, bardziej szczegółowe omówienie tego przykładu.

Obliczenie reakcji podporowych

Korzystamy z równań równowagi sił i momentów, aby wyznaczyć reakcje w podporach.

Równania równowagi statycznej ∑𝑥=0𝐻𝐴−4,698=0𝐻𝐴=4,698 𝑘⁢𝑁∑𝑀𝐴=03⋅4⋅2+1,71⋅6−4,698⋅2⁢√3−𝑉𝐵⋅8=0𝑉𝐵=2,248 𝑘⁢𝑁∑𝑦=0𝑉𝐴−3⋅4−1,71+2,248=0𝑉𝐴=11,462 𝑘⁢𝑁

Przedział I - 𝛼 ∈(0;60)

Rozwiązujemy siły wewnętrzne w łuku w przedziale kątowym od 0 do 60 stopni.

Rzutowanie reakcji VB na składowe normalną i tnącą do przekroju myślowego łuku.



Uzależniamy zmienną x i y od kąta alfa.
𝑥4=𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼𝑥=4⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼𝑦4=𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼𝑦=4⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼 Funkcje sił wewnętrznych w pierwszym przedziale.
𝑁⁡(𝛼)=−2,248⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼𝑇⁡(𝛼)=−2,248⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼𝑀⁡(𝛼)=2,248⁢(4−𝑥)=8,992−8,992⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼 Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
𝛼⁡[0]sin⁡𝛼cos⁡𝛼N⁡(𝛼)⁢[kN]T⁡(𝛼)⁢[kN]M⁡(𝛼)⁢[kNm]00.0001.0002.2480.0000.000150.2590.9662.171−0.5820.306300.5000.8661.947−1.1241.205450.7070.7071.590−1.5902.634600.8660.5001.124−1.9474.496

Przedział II - 𝛼 ∈(60;90)

Rozwiązujemy siły wewnętrzne w łuku w przedziale kątowym od 60 do 90 stopni.

Funkcje sił wewnętrznych w drugim przedziale.
𝑁⁡(𝛼)=−2,248⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼+1,71⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−4,698⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼=−0,538⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−4,698⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼𝑇⁡(𝛼)=−2,248⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼+1,71⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼+4,698⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼=−0,583⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼+4,698⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼𝑀⁡(𝛼)=2,248⋅(4−𝑥)−1,71⋅(2−𝑥)−4,698⁢(𝑦−2⁢√3)==8,992−8,992⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−3,42+6,84⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−18,792⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼+16,274==21,848−2,152⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−18,792⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼 Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
𝛼⁡[∘]sin⁡𝛼cos⁡𝛼N⁡(𝛼)⁢[kN]T⁡(𝛼)⁢[kN]M⁡(𝛼)⁢[kNm]600.8660.500−4.3381.8834.496750.9660.259−4.6770.6963.139901.0000.000−4.698−0.5383.056

Przedział III - Zmiana układu współrzędnych 𝛼 ∈(0;90)

Zmieniamy układ współrzędnych, rozważamy przekrój w widoku z lewej strony i przeliczamy siły wewnętrzne w pełnym zakresie kątowym.

Funkcje sił wewnętrznych w trzecim przedziale.
𝑁⁡(𝛼)=−11,462⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−4,698⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼+3⋅(4−𝑥)⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼==−11.462⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−4,698⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼+12⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−12⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠2⁢𝛼==0,538⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−4,698⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼−12⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠2⁢𝛼𝑇⁡(𝛼)=11,462⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼−4,698⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−3⋅(4−𝑥)⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼==11,462⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼−4,698⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−12⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼+12⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼==−0,538⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼−4,698⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼+12⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼𝑀⁡(𝛼)=11,462⋅(4−𝑥)−4,698⁢𝑦−3⋅(4−𝑥⋅12⁢(4−𝑥)==45,848−45,848⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−18,792⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼−1,5⁢(16−8⁢𝑥+𝑥2)==45,848−45,848⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−18,792⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼−24+48⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−24⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠2⁢𝛼=21,848+2,152⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼−18,792⋅𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼−24⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠2⁢𝛼 Sprawdzamy wartości sił wewnętrznych dla kąta alfa co 15 stopni. Wyniki wygodnie zestawić w tabeli.
𝛼⁡[∘]sin⁡𝛼cos⁡𝛼N⁡(𝛼)⁢[kN]T⁡(𝛼)⁢[kN]M⁡(𝛼)⁢[kNm]00.0001.000−11.462−4.6980.000150.2590.966−11.892−1.677−3.329300.5000.866−10.8830.859−3.684450.7070.707−8.9422.298−1.918600.8660.500−6.8002.3810.650750.9660.259−5.2031.2642.646901.0000.000−4.698−0.5383.056

Wykresy sił wewnętrznych na łuku