Wytrzymałość materiałów - Twierdzenie Menabrea-Castigliano

Analiza układów statycznie niewyznaczalnych jest jednym z kluczowych zagadnień w wytrzymałości materiałów i mechanice budowli. W takich układach liczba niewiadomych reakcji przekracza liczbę dostępnych równań równowagi statycznej, co wymaga zastosowania bardziej zaawansowanych metod obliczeniowych. Metody energetyczne, oparte na zasadach zachowania energii, są szczególnie skuteczne w rozwiązywaniu tego typu problemów.

Twierdzenie Menabre’a-Castigliano

Twierdzenie Menabre’a-Castigliano jest rozszerzeniem twierdzenia Castigliano, stosowanym do obliczania przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych. Polega ono na różniczkowaniu energii sprężystej układu względem statycznie niewyznaczalnych reakcji. Dzięki temu twierdzeniu można wyznaczyć reakcje, których nie jesteśmy w stanie wyznaczyć z równań równowagi statycznej.

Wykorzystując twierdzenie Castigliano do wyznaczania uogólnionych przemieszczeń w miejscu i na kierunku występowania nadliczbowych (reakcji statycznie niewyznaczalnych), gdzie przemieszczenia te nie istnieją, otrzymamy twierdzenie o minimum energii

\begin{aligned} \frac{\partial U}{\partial X_{i}}=0 \end{aligned}

gdzie:

U – energia sprężysta układu jako funkcja obciążeń zewnętrznych i statycznie niewyznaczalnych reakcji układu,

\(X_i\) – statycznie niewyznaczalna (nadliczbowa) reakcja układu.

Twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia Menabre’a i formułujemy je następująco:

W układzie liniowo-sprężystym sztywnie podpartym pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem wielkości nadliczbowej – statycznie niewyznaczalnej jest równa zero.