Wytrzymałość materiałów - Metoda trzech momentów

Metoda trzech momentów, znana również jako metoda Clapeyrona, jest techniką stosowaną do rozwiązywania belek ciągłych (belki wieloprzęsłowe) statycznie niewyznaczalnych. Metoda ta bazuje na równaniach równowagi momentów zginających, sformułowanych dla trzech kolejnych podpór w belce ciągłej.

Podstawowym założeniem metody trzech momentów jest wykorzystanie zależności geometrycznych i statycznych między momentami zginającymi na trzech kolejnych podporach oraz obciążeniami działającymi na sąsiadujące przęsła belki. Metoda ta pozwala na wyznaczenie wartości momentów podporowych bez konieczności szczegółowego analizowania wszystkich sił reakcji.

Korzystając z metody trzech momentów, formułuje się równania opisujące warunki ciągłości ugięć i kątów obrotu na podporach pośrednich. Dla belki o wielu przęsłach powstaje układ równań liniowych, w którym niewiadomymi są momenty podporowe. Rozwiązanie tego układu umożliwia dalsze określenie rozkładu momentów, sił poprzecznych oraz ugięć w całej belce.

Zaletą metody trzech momentów jest jej stosunkowo prosta i systematyczna procedura obliczeniowa, szczególnie efektywna dla belek wieloprzęsłowych o dowolnej liczbie przęseł i różnorodnych schematach obciążeń.

Algorytm rozwiązania

1. Ustalenie schematu statycznego belki:
   • Określ liczbę podpór i przęseł.
   • Zidentyfikuj podpory (skrajne, pośrednie) i przypisz im odpowiednie numery lub symbole.
2. Określenie parametrów geometrycznych belki:
   • Wyznacz długości kolejnych przęseł \( l_n, l_{n+1}, \ldots \).
   • Określ sztywności poszczególnych przęseł belki (stała lub zmienna sztywność EI).
3. Narysowanie wykresów momentów dla zadanego obciążenia:
   • Dla każdego przęsła obciążonego wyznacz wykres momentów.
4. Rozwiązanie belek wtórnych:
   • Tutaj można do sprawy podejść na dwa sposoby:
   • 1) Oblicz reakcje przy podporze pośredniej dla dwóch sąsiadujących belek \( R_{N1}, R_{Np} \) - reakcje na podporze "n" z lewej strony i reakcja na podporze "n" z prawej strony. Obciążeniem belki wtórnej dla której wyznaczamy reakcje jest wykres momentów z belki pierwotnej zamieniony na obciążenie ciągłe.
   • 2) Oblicz kąt obrotu przy podporze pośredniej dla jednej i drugiej sąsiadującej belki - czyli przecałkuj wykresy momentów które powstały w stanie pierwotnym oraz w stanie od jednostkowych momentów na podporze pośredniej. Całkowanie można to przeprowadzić np. obliczając pole na wykresach na obu belkach, czyli: \( \Omega_n, \Omega_{n+1} \) oraz położenie ich środków ciężkości \( a_n, b_{n+1} \)
5. Formułowanie układu równań metody trzech momentów:
   • Zastosuj wzory metody trzech momentów (Clapeyrona), zestawiając je dla kolejnych trzech podpór.
   • Dla belki z \( n \) podporami \( (n-2) \) równania liniowe z niewiadomymi momentami podporowymi.
6. Rozwiązanie układu równań:
   • Rozwiąż otrzymany układ równań liniowych względem niewiadomych momentów podporowych \( M_{n-1}, M_n, M_{n+1} \).
7. Obliczenie reakcji podporowych i sił poprzecznych:
   • Korzystając z uzyskanych momentów podporowych, wyznacz reakcje na podporach oraz siły tnące w poszczególnych przęsłach belki.
8. Wyznaczenie wykresów momentów zginających i sił tnących:
   • Sporządź wykres momentów zginających, wykorzystując obliczone momenty podporowe oraz wpływ obciążeń w przęsłach.
   • Wyznacz wykres sił tnących na podstawie wcześniej wyznaczonych reakcji podporowych.

Równanie trzech momentów

Dla belek o stałej sztywności

\begin{aligned} M_{n-1} l_{n}+2 M_{n}\left(l_{n}+l_{n+1}\right)+M_{n+1} l_{n+1}=-6\left(R_{N l}+R_{N} p\right) \end{aligned}

Dla belek o zmiennej sztywności

\begin{aligned} c M_{n-1} l_{n}+2 M_{n}\left(c l_{n}+l_{n+1}\right)+M_{n+1} l_{n+1}=-6\left(c R_{N l}+R_{N} p\right) \end{aligned}

Można również spotkać zapis postaci

\begin{aligned} c M_{n-1} l_{n}+2 M_{n}\left(c l_{n}+l_{n+1}\right)+M_{n+1} l_{n+1}=-6 c \frac{\Omega_{n} a_{n}}{l_{n}}-6 \frac{\Omega_{n+1} b_{n+1}}{l_{n+1}} \end{aligned} Legenda do wzorów:
- \(M_{n-1}, M_n, M_{n+1}\) - momenty zginające na kolejnych podporach (poprzedniej, bieżącej i nastẹpnej)
- \(l_n, l_{n+1}\) - długości kolejnych przęseł belki
- \(R_N, R_{N p}\) - wielkości zależne od rodzaju i rozkładu obciążeń na przęsłach (momenty zastępcze wynikające z obciążeń)
- \(c\) - współczynnik uwzglẹdniający zmienność sztywności belki; \[ c = \frac{(EI)_{n+1}}{(EI)_n} \] - \(\Omega_n, \Omega_{n+1}\) - pola wykresów momentów od obciążeń na poszczególnych przęsłach
- \(a_n, b_{n+1}\) - odległości środków ciężkości pól momentów od odpowiednich podpór

a także zapis w takiej postaci jak poniżej

\[ \mathrm{x}_{\mathrm{k}-1} \cdot \mathrm{l}_{\mathrm{k}^{\prime}}+2 \cdot \mathrm{x}_{\mathrm{k}} \cdot\left(\mathrm{l}_{\mathrm{k}^{\prime}}+\mathrm{l}_{\mathrm{k}+1^{\prime}}\right)+\mathrm{x}_{\mathrm{k}+1^{-1}} \mathrm{l}_{\mathrm{k}+1^{\prime}}=\mathrm{N}_{\mathrm{k}} \mathrm{P} \]

Legenda:

• \( \mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}, \mathrm{x}_{\mathrm{k}}, \mathrm{x}_{\mathrm{k}+1^{-1}} \) – momenty zginające w kolejnych podporach (poprzednia, bieżąca, następna).
• \( \mathrm{l}_{\mathrm{k}'} \) – sprowadzona (porównawcza) długość przęsła pomiędzy podporami \(k-1\) i \(k\).
• \( \mathrm{l}_{\mathrm{k}+1'} \) – sprowadzona (porównawcza) długość przęsła pomiędzy podporami \(k\) i \(k+1\).
• \( \mathrm{N}_{\mathrm{k}} \) = \(-6 \mathrm{EI} \cdot\left(\varphi_{k \mathrm{~L}}+\varphi_{k \mathrm{P}}\right)\)
gdzie: \( I_C \) - porównawczy moment bezwładności (moment bezwładności jednego z przęseł wybieramy jako porównawczy)