Przykład 1

Rozwiązać poniższy problem brzegowy metodą elementów skończonych (MES), dyskretyzując dziedzinę jednym elementem skończonym z kwadratowymi hierarchicznymi funkcjami kształtu. Zapisać rozwiązanie MES

Rozwiązanie

Przekształcamy do postaci residualnej (wszystkie elementy na lewą stronę):

Zapisujemy sformułowanie słabe - mnożymy przez funkcję wagową i całkujemy

∫𝑙0(𝑢′′−3⁢(𝑥𝑒+𝑎)−1)⁢𝑤𝑒⁢ d⁢𝑥=0∫𝑙0𝑢′′⋅𝑤𝑒⁢ d⁢𝑥−∫𝑙0𝑤𝑒⋅(3⁢(𝑥𝑒+𝑎)⁢1)d𝑥=0

Dla pierwszego elementu całkujemy przez części, ale uwaga - ta część z reguły jest tak samo schematyczna

∫𝑙0𝑢′′⋅𝑤𝑒d𝑥−∫𝑙0𝑤𝑒⋅(3⁢(𝑥𝑒+𝑎)+1)d𝑥=0𝑤𝑒⋅𝑢′𝑒∣𝑙0−∫𝑙0𝑢′𝑒⋅𝑤′𝑒d𝑥−∫𝑙0𝑤𝑒⋅(3⁢(𝑥𝑒+𝑎)+1)d𝑥=0∫𝑙0𝑢′𝑒⋅𝑤′𝑒d𝑥=𝑤𝑒⋅𝑢′𝑒∣𝑙0−∫𝑙0(3⁢(𝑥𝑒+𝑎)+1)⋅𝑤𝑒d𝑥

Aproksymacja

𝑢𝑒=𝑁𝑒⋅𝑑𝑢′𝑒=𝑁′𝑒⋅𝑑𝑤𝑒=𝛽𝑒⁢T⋅𝑁T𝑒𝑤′𝑒=𝛽′𝑒⁢T⋅𝑁′𝑒⁢T ∫𝑙0𝑁′𝑒⋅𝑑⋅𝛽T𝑒⋅𝑁T𝑒d𝑥=𝛽T𝑒⋅𝑁T𝑒⋅(𝑁′𝑒⋅𝑑)∣𝑙0−∫𝑙0(3⁢(𝑥𝑒+𝑎)+1)⋅𝛽T𝑒⋅𝑁T𝑒d𝑥∫𝑙0𝑁′𝑒⋅𝑁T𝑒⋅𝑑d⁢𝑥=𝑁T𝑒⋅(𝑁′𝑒⋅𝑑)∣𝑙0−∫𝑙0(3⁢(𝑥𝑒+𝑎)+1)⋅𝑁T𝑒d𝑥𝐾𝑒⋅𝑑=𝑓𝑏⁢𝑒−𝑓𝑒𝐾𝑒=∫𝑙0𝑁′𝑒⋅𝑁T𝑒d𝑥𝑓𝑏⁢𝑒=𝑁T𝑒⋅(𝑁′𝑒⋅𝑑)∣𝑙0𝑓𝑒=∫𝑙0(3⁢(𝑥𝑒+𝑎)+1)⋅𝑁T𝑒d𝑥

Obliczamy poszczególne elementy, mamy 1 ES z 𝑎 =−13

𝑥1=−13𝑥2=23𝑙=𝑥2−𝑥1=1𝑁𝑒⁡(𝑥𝑒)=[1−𝑥𝑒𝑙⁢𝑥𝑒𝑙⁢𝑥𝑒⋅(𝑥𝑒−𝑙)]𝑁′𝑒⁡(𝑥𝑒)=dd⁢𝑥⁢𝑁𝑒⁡(𝑥)=[−112⋅𝑥−1]𝐾𝑒=∫𝑙0(𝑁′𝑒⁡(𝑥)T⋅𝑁′𝑒⁡(𝑥))d𝑥=⎡⎢⎣1−10−1100013⎤⎥⎦𝑓𝑏=𝑁𝑒⁡(𝑙)T⋅𝑢′⁡(𝑙)−𝑁𝑒⁡(0)T⋅𝑢′⁡(0)=⎡⎢⎣−𝑢′⁡(0)𝑢′⁡(1)0⎤⎥⎦𝑓𝑒=∫𝑙0(3⁢(𝑥𝑒−13)+1)⋅𝑁𝑒⁡(𝑥𝑒)T⁢d⁢𝑥𝑒=⎡⎢⎣121−14⎤⎥⎦

Rozwiązujemy układ równań:

⎡⎢⎣1−10−1100013⎤⎥⎦⋅⎡⎢⎣20𝛼⎤⎥⎦=⎡⎢⎣−𝑢′⁡(0)𝑢′⁡(1)0⎤⎥⎦−⎡⎢⎣121−14⎤⎥⎦⎡⎢⎣2−2𝛼3⎤⎥⎦=⎡⎢⎣−12−𝑢′⁡(0)𝑢′⁡(1)−114⎤⎥⎦𝑢′⁡(0)=−52𝑢′⁡(1)=−1𝛼=34

Podstawiamy do równania na 𝑦ℎ⁡𝑝 pamiętając o powrocie do ukłądu globalnego

𝑦ℎ⁡𝑝=(1−𝑥𝑒𝑙)⋅2+𝑥𝑒𝑙⋅0+𝑥𝑒⋅(𝑥𝑒−𝑙)⋅34𝑥𝑒=𝑥+13𝑦ℎ⁡𝑝=(1−𝑥+13𝑙)⋅2+𝑥+13𝑙⋅0+(𝑥+13)⋅(𝑥+13−𝑙)⋅34𝑦ℎ⁡𝑝=3⋅𝑥24−9⋅𝑥4+76