Wytrzymałość materiałów - Mimośrodowe działanie siły normalnej

Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie to przypadki obciążenia, w których siła zewnętrzna nie przechodzi przez środek ciężkości przekroju poprzecznego elementu, lecz działa w pewnej odległości od tego środka (mimośród). Powoduje to nie tylko naprężenia normalne wynikające z rozciągania lub ściskania, ale również momenty zginające, które wywołują dodatkowe naprężenia w materiale. Mimośród to odległość pomiędzy osią przyłożenia siły a środkiem ciężkości przekroju poprzecznego elementu konstrukcyjnego. Innymi słowy, jest to przesunięcie punktu przyłożenia siły względem centralnej osi przekroju. Wzór na naprężenia normalne najczęściej jest spotykany pod dwiema postaciami: \[ \sigma=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}}+\frac{\mathrm{My}}{\mathrm{Iy}} \cdot \mathrm{z}-\frac{\mathrm{Mz}}{\mathrm{Iz}} \cdot \mathrm{y} \] gdzie:
\(\mathrm{N}\) - siła rozciągająca/ściskająca,
A - pole przekroju poprzecznego,
My - moment zginający względem osi y,
\( \mathrm{My}=\mathrm{N} \cdot \mathrm{e}_{\mathrm{z}} \)
Mz - moment zginający względem osi z,
\( \mathrm{Mz}=\mathrm{N} \cdot \mathrm{e}_{\mathrm{y}} \)
gdzie ey, ez - mimośód przybżenia siły,
ly, lz - momenty bezwładności,
y, z - współrzędne punku przekroju w którym liczymy naprężenia.

Druga postać wzoru:
\[ \sigma=\frac{N}{A} \cdot\left(1+\frac{e_z}{i_y^2} \cdot z+\frac{e_y}{i_z^2} \cdot y\right) \] jest przekształceniem pierwszej postaci, tutaj:
\begin{aligned} & \mathrm{i}_{\mathrm{y}}{ }^2=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{\mathrm{A}} \\ & \mathrm{i}_{\mathrm{z}}{ }^2=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{z}}}{\mathrm{A}} \end{aligned} są to kwadraty promieni bezwładności.

W kontekście mimośrodowego rozciągania i ściskania, ważnymi pojęciami są rdzeń przekroju oraz oś obojętna. Te koncepcje pomagają zrozumieć, jak rozkładają się naprężenia w materiale.

Rdzeń przekroju jest obszarem wewnątrz przekroju poprzecznego elementu konstrukcyjnego, w którym przyłożenie siły rozciągającej/ściskającej nie wywoła naprężeń o zwrocie przeciwnym niż przyłożona siła. Innymi słowy, jeśli punkt przyłożenia siły leży w rdzeniu przekroju i siła ściska ten przekrój, to wszystkie włókna przekroju będą poddane naprężeniom ściskającym, bez pojawienia się naprężeń rozciągających. Jeśli siła przyłożona w rdzeniu przekroju będzie go rozciągać, to naprężenia w całym przekroju będą dodatnie. To jak wyznaczyć ów rdzeń dowiecie się z naszego kursu.

Oś obojętna jest linią w przekroju poprzecznym elementu konstrukcyjnego, na której naprężenia normalne są równe zeru. Oś obojętna dzieli przekrój na dwie części – jedną, w której występują naprężenia ściskające, oraz drugą, w której występują naprężenia rozciągające (chyba że siła jest przyłożona w rdzeniu przekroju, wówczas oś obojętna jest poza przekrojem lub jest do niego stycznia i naprężenia w całym przekroju są jednego znaku).

Oś obojętną również można wyznaczyć na dwa sposoby
1) Podstawienie wszystkich danych do pierwszego wzoru na naprężenia i przyrównanie go do zera (nie podstawiamy y,z - współrzędnych żadnego punktu), czyli:
\[ \sigma=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}}+\frac{\mathrm{My}}{\mathrm{Iy}} \cdot \mathrm{z}-\frac{\mathrm{Mz}}{\mathrm{Iz}} \cdot \mathrm{y}=0 \] Następnie należy uprościć wszystkie wyrażenia i przekształcić do postaci prostej: \( z=a\cdot y+b \) - równanie osi obojętnej, wówczas możemy narysować tą prostą w układzie współrzędnych na przekroju.
2) Skorzystanie z równania odcinkowego prostej:
\[ \frac{y}{a_y}+\frac{z}{a_z}=1 \] tutaj musimy wyznaczyć wyrażenia ay i az, dane jako:
\[ a_y=-\frac{i_z^2}{e_y}, \quad a_z=-\frac{i_y^2}{e_z}, \] ay - współrzędna przecięcia osi obojętnej z osią y,
az - współrzędna przecięcia osi obojętnej z osią z.
Zaznaczając te dwa punkty przecięcia z osiami i łącząc je otrzymujemy oś obojętną.


Do dyspozycji masz szeroką bazę zadań z rozwiązaniami osobno dla wyznaczenia samego rdzenia przekroju, osobno dla zadań złożonych.

Zgłębianie tych zagadnień oraz rozwiązywanie praktycznych zadań prowadzi do lepszego zrozumienia zachowanie się materiałów pod wpływem działania siły przyłożonej mimośrodowo oraz zdobycia umiejętności analizy i projektowania konstrukcji pod tym kątem.
Powodzenia! 🛠️🔍