Skręcanie prętów kołowych



Kiedy mamy do czynienia ze skręcaniem?
Ze skręcaniem mamy do czynienia wówczas, gdy układ sił zewnętrznych redukuje się do momentu skręcającego (czyli momentu, którego wektor jest równoległy do wzdłużnej osi pręta, tj. prostopadły do przekroju). W tym wstępie teoretycznym zajmiemy się skręcaniem prętów kołowych, jest to szczególny przypadek skręcania dla którego zastosowanie ma zasada płaskich przekrojów Bernoulliego, która mówi że przekrój płaski i prostopadły do osi pręta, po deformacji pozostaje płaski i prostopadły do odkształconej osi pręta.

Moment skręcający może być rysowany na trzy sposoby:

Sposoby zaznaczania momentu skręcającego1
Sposoby zaznaczania momentu skręcającego2
Sposoby zaznaczania momentu skręcającego3

Rys1. Sposoby zaznaczania momentu skręcającego


Konwencja dodatniego znakowania momentu skręcającego

Konwencja dodatniego znakowania momentu skręcającego
Rys2. Konwencja dodatniego znakowania momentu skręcającego



Przy założeniu:
- materiału pręta jako liniowo sprężysty o stałych materiałowych E oraz v,
- małych przemieszczeń,
- zastosowania płaskich przekrojów Bernoulliego,
możemy przyjąć obraz deformacji jak na rys3. poniżej.
Przeanalizujmy ruch linii AB przed przyłożeniem momentu skręcającego i po przyłożeniu momentu.

Rys3. Obraz obrotu pręta kołowego

Obraz obrotu pręta kołowego

- kąt skręcenia w przekroju końcowym
- kąt odkształcenia postaciowego
- kąt skręcenia na jednostkę długości
Kąt skręcenia w przekroju końcowym względem utwierdzenia obliczamy ze wzoru:
Gdyby pręt był obciążony ciągłym, a nie skupionym momentem skręcającym, wówczas musimy skorzystać z takiej wersji wzoru: 𝜑=𝑥𝑘𝑥𝑝𝑀𝑥(𝑥)𝐺𝐼𝑠𝑑𝑥
Tego typu zadania (z obciążeniem ciągłym momentem skręcającym) znajdziesz w naszym kursie online z wytrzymałości materiałów w dziale skręcanie statycznie wyznaczalne przykłady 9-12 oraz w dziale skręcanie statycznie niewyznaczalne, przykład 9.
gdzie:
Mx - moment skręcający lub Mx(x) - funkcja momentu skręcającego
L - długość pręta, lub części pręta
G - moduł Kirchoffa (stała materiałowa)
Is - moment bezwładności na skręcanie
Moment bezwładności na skręcanie
Dla przekroju kołowego lub pierścieniowego moment bezwładności na skręcanie jest równy biegunowemu momentowi bezwładności. Biegunowy moment bezwładności to po prostu suma momentów bezwładności dwóch prostopadłych osi przechodzących przez punkt (biegun, tutaj środek ciężkości) i jest to po prostu:
- dla przekroju pierścieniowego 𝐼𝑠=𝜋(𝐷4𝑑4)32 D - zewnętrzna średnica pierścienia,
d - wewnętrzna średnica pierścienia
- dla przekroju kołowego 𝐼𝑠=𝜋𝐷432
Kąt skręcenia na jednostkę długości (jednostkowy kąt skręcenia)
liczymy ze wzoru: 𝜃=MxGIs
Kąt odkształcenia postaciowego 𝛾
Wzór na kąt odkształcenia postaciowego możemy wyprowadzić wprost z Rys3.
Po pierwsze założyliśmy na początku małe przemieszczenia, a więc kąt 𝛾 będzie bardzo mały, ponieważ jest to stosunek niewielkiego wycinku łuku z obwodu przekroju BB' pręta do wielokrotnie większej długości samego pręta. Dla małych kątów wystarczające jest przybliżenie: 𝛾 =𝑡𝑔(𝛾) , czyli że wartość kąta gamma jest równa swojemu tangensowi.
Po drugie szybkie przypomnienie z matematyki - wzór na wycinek łuku (interesuje nas wycinek łuku między B a B'): Ł=𝜑3602𝜋𝑟=𝜑𝑟 pierwsza postać jeśli wstawiamy kąt skręcenia w stopniach, druga - z której korzystamy - jeśli wstawiamy w radianach, czyli jednostce podstawowej.
Wobec powyższego 𝛾=𝐵𝐵𝐿=𝜑𝑟𝐿 jest to kąt odkształcenia postaciowego na powierzchni pręta (na obwodzie przekroju), jeśli za 𝜌 przyjmiemy dowolną promieniową odległość od środka ciężkości do punktu przekroju, wówczas wzór możemy zapisać: 𝛾=𝐵𝐵𝐿=𝜑𝜌𝐿
Przekrój kołowy, współrzędna

Rys4. Przekrój kołowy, współrzędna 𝜌

Jak widać z powyższego wzoru, im większa odległość punktu od środka ciężkości 𝜌 tym większe odkształcenie postaciowe. Tak samo jest z naprężeniem stycznym.
Naprężenia styczne

Rozkład naprężeń stycznych w przekroju kołowym i pierścieniowym
Rys5. Rozkład naprężeń stycznych w przekroju kołowym i pierścieniowym


Wzór na wypadkowe naprężenia styczne w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego wygląda nastepujaco: 𝜏=MxIS𝜌=MXWs(𝜌) Najczęściej będziemy potrzebowali obliczyć maksymalne naprężenia styczne, czyli naprężenia na obwodzie koła lub pierścienia, a więc dla 𝜌 =𝑅 =𝐷2.
Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie dla skrajnych włókien : WS =ISR
Dla przekroju kołowego: Ws =𝜋D432D2 =𝝅𝐃𝟑𝟏𝟔
Dla przekroju pierścieniowego: Ws =𝜋(D4d4)32D2 =𝝅(𝐃𝟒𝐝𝟒)𝟏𝟔𝐃
Jednak raczej nie ma sensu zapamiętywanie wzorów na wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, wystarczy znać wzór na moment bezwładności i skorzystać z wyrażenia które jest zapisane na początku na naprężenia styczne.
Jeżeli potrzebujemy składowe naprężenia stycznego 𝜏𝑥𝑧 oraz 𝜏𝑥𝑦 to musimy mieć określone współrzędne punktu na przekroju (𝑦,𝑧) w którym mamy policzyć te naprężenia i wówczas:
𝜏xz=MxIsy𝜏xy=MxIsz oraz oczywiście zachodzi: 𝜏 =𝜏2𝑥𝑧+𝜏2𝑥𝑦
Znając naprężenia można policzyć odkształcenia postaciowe z zależności 𝛾𝑥𝑧=𝜏𝑥𝑧𝐺,𝛾𝑥𝑦=𝜏𝑥𝑦𝐺
Postać tensora naprężenia i odkształcenia dla pręta skręcanego:
𝑇𝜎=0𝜏𝑥𝑦𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑥00𝜏𝑧𝑥00𝑇𝜀=0𝛾𝑥𝑦𝛾𝑥𝑧𝛾𝑦𝑥00𝛾𝑧𝑥00
Energia sprężysta dla pręta skręcanego o przekroju kołowym lub pierścieniowym
Dla pręta o jednym przedziale charakterystycznym: 𝑈=𝐿0𝑀2𝑥(𝑥)2𝐺𝐽𝑠𝑑𝑥 Dla pręta o większej liczbie przedziałów (jeśli zmienia się na długości pręta przekrój lub materiał lub jeżeli w różnych miejscach mamy obciążenie momentami skręcającymi) wówczas musimy zrobić sumowanie po wszystkich przedziałach charakterystycznych: 𝑈=𝑛𝑖=1𝐿𝑖0𝑀2𝑥𝑖(𝑥)2𝐺𝐽𝑠𝑖𝑑𝑥
Kostka naprężeń dla przypadku czystego ścinania, naprężenia i kierunki główne, koło Mohra
Rozważmy jakie naprężenia powstają pod wpływem działania momentu skręcającego Mx w punkcie A przekroju poprzecznego.
Naprężenia ścinające w punkcie A

Rys6. Naprężenia ścinające w punkcie A

𝜏𝑥𝑧=𝑀𝑥𝐼𝑠𝑦=𝑀𝑥𝐼𝑠(𝑅)𝜏𝑥𝑦=𝑀𝑥𝐼𝑠𝑧=0 Napreżenia główne: 𝜎1=𝜎𝑥+𝜎𝑧2+(𝜎𝑥𝜎𝑧2)2+𝜏2𝑥𝑧𝜎2=𝜎𝑥+𝜎𝑧2(𝜎𝑥𝜎𝑧2)2+𝜏2𝑥𝑧 ponieważ nie ma naprężeń normalnych, tj. 𝜎x =0,𝜎𝑧 =0 𝜎1=𝜏xz𝜎2=𝜏xz Wzory na kąt obrotu kostki (kierunki naprężeń głównych):
tg𝛼1 =𝜏𝑥𝑧𝜎𝑧𝜎1,tg𝛼2 =𝜏𝑥𝑧𝜎𝑧𝜎2
tg𝛼1 =𝜏xz𝜎1 =𝜏xz𝜏xz, a ponieważ sama wartość 𝜏xz w naszym przykładzie jest ujemna (patrz pierwsza linijka pod Rys6.) to ostatecznie tg𝛼1 =1, a więc 𝛼1 =45
Analogicznie wyjdzie 𝛼2 =45
Obracamy oś pozioma, dodatni kąt obrotu oznacza obrót w kierunku od osi poziomej do pionowej, czyli przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
Kostki naprężeń

Rys7. Kostki naprężeń

koło Mohra
Koło Mohra - przypadek czystego ścinania

Rys8. Koło Mohra - przypadek czystego ścinania

Przykład 1

Przykład 1

Treść

Dwustopniowy wałek o wymiarach d=6 cm został przymocowany trwale lewym końcem i obciążony momentami 20 oraz 30 kNm jak na rysunku. Przyjąć G=80 GPa. Obliczyć i narysować wykresy momentów skręcających, naprężeń stycznych oraz kąta skręcenia: 𝑀(𝑥),𝜏(𝑥),𝜑(𝑥).

Obliczyć i narysować wykresy momentów skręcających, naprężeń stycznych oraz kąta skręcenia
Rozwiązanie
Wyznaczamy momenty skręcające na przedziałach charakterystycznych
𝑀𝐵𝐶=20kNm𝑀𝐴𝐵=20+30=10kNm
Wyznaczamy maksymalne naprężenia styczne
𝜏=𝑀𝑆𝑊𝑆𝑊𝑆=𝜋𝑑316
W tym celu potrzebujemy policzyć wskaźniki wytrzymałości na skręcanie
𝑊𝑆𝐵𝐶=𝜋0,06316=4,24105 m3𝑊𝑆𝐴𝐵=𝜋0,12316=3,39104 m3
Teraz możemy obliczyć naprężenia
𝜏=𝑀𝐵𝐶𝑊𝑆𝐵𝐶=201034,24105=471,57MPa𝜏=𝑀𝐴𝐵𝑊𝑆𝐴𝐵=101033,39104=29,5MPa
Następnie obliczymy kąty skręcenia w przekrojach charakterystycznych względem utwierdzenia
𝜑=𝑀𝑆𝑙𝐺𝐼
Do tego potrzebujemy momenty bezwładności na skręcanie
𝐼=𝜋𝑑432𝐼𝐵𝐶=𝜋0,06432=1,27106 m4𝐼𝐴𝐵=𝜋0,12432=2,04105 m4
Przykładowo: kąt skręcenia przekroju C względem przekroju B obliczymy w taki sposób:
𝜑𝐵𝐶=𝑀𝑆𝐵𝐶𝑙𝐵𝐶𝐺𝐼𝐵𝐶
Jednak zacznijmy od utwierdzenia w punkcie A, gdzie wiemy, że kąt obrotu jest równy 0
𝜑𝐴=0
Następnie kąt obrotu przekroju B względem A:
𝜑𝐵=𝜑𝐴+𝜑𝐴𝐵
oraz całkowity kąt skręcania, czyli suma kąta skręcenia w B oraz skręcenia przekroju C względem B
𝜑𝐶=𝜑𝐵+𝜑𝐵𝐶
Obliczenia
𝜑𝐴𝐵=101033801092,04105=0,0183 rad𝜑𝐵𝐶=201032801091,27106=0,3937 rad𝜑𝐵=0+0,0183=0,0183 rad𝜑𝐶=0,01830,3937=0,3754 rad
Po wykonaniu wszystkich obliczeń możemy narysować wykresy momentów skręcających, naprężeń stycznych i kąta skręcenia
narysować wykresy momentów skręcających, naprężeń stycznych i kąta skręcenia
Przykład 2
Przykład 3


ZOBACZ TEŻ

Łukasz Cichowicz
ŁUKASZ
CICHOWICZ
Korepetytor
150 PLN
60 MIN
Zobacz mój profil na
Edupanda Logo