Łuki kołowe

Zastosowanie łuków

Łuki kołowe mają szerokie zastosowanie w budownictwie ze względu na swoje estetyczne walory, wyjątkową wytrzymałość i zdolność do przenoszenia obciążeń. Ich wszechstronność sprawia, że są one popularnym i efektywnym rozwiązaniem w projektach budowlanych na całym świecie.

Oto kilka zastosowań łuków kołowych:



Rys1. Most i akwedukt z wykorzystaniem łuku

• - Mosty i wiadukty: charakterystyczna forma łukowa pozwala na efektywne przenoszenie obciążeń i rozprowadzanie sił, co czyni je idealnymi do przekraczania rozęiętości rzek, dolin czy innych przeszkód terenowych,
• - Kościoły i katedry: Łuki kołowe odgrywają ważną rolę w architekturze sakralnej, gdzie są często wykorzystywane do budowy kopuł, sklepień czy arkad. Ich elegancka forma nie tylko zapewnia niezbędną wytrzymałość, ale także nadaje wnętrzom sakralnym wyjątkowy charakter i urok,
• - Tunele i galerie: W budownictwie podziemnym łuki kołowe są stosowane jako elementy konstrukcyjne w tunelach, galeriach czy kryptach. Ich zdolność do przenoszenia dużych obciążeń sprawia, że są idealnym rozwiązaniem dla struktur podziemnych, gdzie ważna jest wytrzymałość i stabilność,
• - Łuki kołowe były wykorzystywane od starożytności do transportu wody przez akwedukty. Ich zdolność do przenoszenia wody na duże odległości przy minimalnym oporze hydraulicznym czyni je efektywnymi strukturami wodociągowymi.

Siły wewnętrzne w łukach

Analiza sił wewnętrznych w łukach kołowych stanowi kluczową umiejętność przy projektowaniu i wymiarowaniu konstrukcji.



Reakcje podporowe dla łuków liczy się tak samo jak dla belek, ram, czy kratownic, nie mam tutaj żadnej różnicy.
Największą trudnością przy obliczaniu sił wewnętrznych jest krzywoliniowy kształt pręta. Jednak z pomocą przychodzi nam trygonometria, która pozwoli nam obliczyć siły normalne i tnące. Pamiętajmy, że siły tnące i normalne będą zmieniać swoje położenie wzdłuż krzywoliniowej linii łuku.

Funkcje sił wewnętrznych

Zobaczmy jak będzie wyglądało rozpisanie funckji sił wewnętrznych dla łuku kołowego jak poniżej.

Rys2. Łuk kołowy o promieniu R=4m - temat zadania

Pominiemy etap liczenia reakcji podporowych. Dla tego przykładu mamy trzy przedziały charakterystyczne, patrząc od lewej strony:
1) od podpory do środka łuku,
2) od środka łuku do siły skupionej,
3) od siły skupionej do podpory.

Przeanalizujmy przekrój myślowy w trzecim przedziale w widoku z prawej strony.

Rys3. Przekrój myślowy przez łuk kołowy

Na powyższym rysunku zaznaczono obliczoną reakcję podporową na podporze po prawej stronie. Postawiono przekrój myślowy "gdzieś" między podporą i siłą skupioną, zaznaczono układ współrzędnych x,y. Zmienną przy łukach kołowych jest kąt między poziomem i przekrojem myślowym, na rysunku zaznaczony jako alfa. Na rysunku zaznaczono też dodatnie zwroty sił wewnętrznych N,T,M w widoku z prawej strony.

Punkt w którym postawiliśmy przekrój rzutujemy na zaznaczoną oś x oraz y. Odległość "y" możemy przenieść sobie z osi pionowej pod przekrój i tworzy nam się wówczas kluczowy w zrozumieniu rozpatrywanego problemu trójkąt prostokątny o przyprostokątnych zmiennych x oraz y i przeciwprostokątnej... no właśnie przeciwprostokątną jest promień naszego łuku.

Zanim zajmiemy się tym trójkątem dodajmy jeszcze, że od środka układu współrzędnych do podpory po prawej stronie mamy odległość równą promieniowi, czyli R=4m. Jeśli od środka do rzutu przekroju na oś poziomą mamy odległość "x", to pozostała odległość - od rzutu przekroju na oś poziomą do podpory to będzie "R-x", czyli "4-x", co zaznaczono na rysunku - ta odległość będzie potrzebna do wyznaczenia momentu gnącego.

Trójkąt x-y-R który ma zmienne długości boków x i y zależne od kąta alfa. Zawsze w zadaniach z łuków kołowych musimy uzależnić długości boków x i y tego trójkąta od kąta alfa. Z funkcji trygonometrycznych:
\( \frac{x}{R}=cos\alpha \Rightarrow x=R\cdot cos\alpha \)
\( \frac{y}{R}=sin\alpha \Rightarrow y=R\cdot sin\alpha \)

Jedyną siłą jaką widzimy od prawej strony jest reakcja 2,248kN. Musimy zrobić rzutowanie tej siły na kierunek normalny i tnący do zaznaczonego przekroju myślowego łuku. Jak połączymy środek łuku z punktem przekroju myślowego to ta prosta stanowi kierunek tnący dla łuku w tym przekroju. Ta prosta jest nachylona pod kątem alfa do poziomu. Prostopadle do tej prostej (a więc na kierunku stycznym do łuku) znajduje się siła normalna (osiowa) do rozpatrywanego przekroju myślowego.

Rys4. Rysunek pomocniczy do rzutowania sił na składowe

Jeśli chodzi o rzutowanie sił na składowe dobrym pomysłem jest narysować sobie taką "pajęczynę" - zrobić rysunek na którym zaznaczymy kierunek pionowy, poziomy, kierunek tnący i prostopadle do niego kierunek normalny. Kąt alfa między poziomem i kierunkiem tnącym. Na takim rysunku co drugi kąt to jest kąt alfa.

Korzystamy z pajęczyny z zaznaczonymi kątami alfa - przykładamy siłę na rysunek pajęczyny, rysujemy dwie najbliższe składowe, widzimy gdzie jest kąt alfa.
Składowa przy której jest zaznaczony kąt alfa jest mnożona razy cosinus tego kąta, a ta druga razy sinus tego kąta.

Rys5. Rzutowanie siły pionowej na składową normalną i tnącą do łuku

Rozważenie tego trójkąta oraz zrzutowanie sił poziomych i pionowych no normalne i tnące do przekroju myślowego łuku stanowi kluczową umiejętność dla łuków kołowych. Teraz rozpisujemy funkcje sił wewnętrznych. Zmienną jest kąt alfa, pozostaje pytanie w jakim zakresie zmienia się kąt alfa dla rozpatrywanego przekroju myślowego? Kąt odmierzamy od osi x do przekroju myślowego, maksymalny kąt do jakiego dojdziemy zaznaczono na rysunku poniżej.

Rys6. Maksymalny kąt w jakim zmienia się rozpatrywany przedział

W temacie zadane były wymiary poziome położenia siły skupionej. Po zbudowaniu trójkąta wiemy że jego przeciwprostokątna to promień R=4m. Znając dla boki - przyprostokątną 2m i przeciwprostokątną 4m możemy zapisać, że \(cos \alpha = 2/4 = 0,5 \). W takim razie \( \alpha = acos(0,5)= 60^o \).
Wobec tego:
\begin{aligned} &0^o < \alpha < 60^o \\ &N(\alpha)=-2,248\cdot cos\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248\cdot sin\alpha\\ &M(\alpha)=2,248\cdot (4-x)=2,248\cdot (4-4\cdot cos\alpha)\\ \end{aligned} Teraz w zależności jak często chcemy mieć wynik sprawdzamy wartości sił wewnętrznych np. co 10,15 albo 30 stopni. Wyniki można zestawić w tabeli, a na końcu narysować wykres sił wewnętrznych.
Wykres sił wewnętrznych można narysować na łuku albo na poziomej prostej.

Kompletne rozwiazanie tego przykładu znajdziesz TUTAJ

Zapraszamy do zgłębiania tematu i analizy sił wewnętrznych w łukach kołowych. Powodzenia! 🛠️🔍