Rezystancja zastępcza

Czasami zanim zaczniemy obliczać zadanie związane z obwodem elektrycznym można je uprościć poprzez zamianę kilku rezystorów (lub innnych elementów np. w przypadku analizy obwodów prądu przemiennego metodą symboliczną) na jeden który opisuje rezystancja (w przypadku analizy obwodów prądu przemiennego impedancja) zastępcza.

Istnieje szereg zadań w których obliczenie rezystancji zastępczej jest konieczne z innych powodów - porównaj na przykład Metoda Thevenina lub Metoda Nortona.

Połączenie szeregowe

Jeżeli elementy są połączone szeregowo:

Prąd płynący przez nie ma taką samą wartość
Rezystancja zastępcza jest sumą rezystancji poszczególnych elementów

𝑅 𝑧 = 𝑅 1 + 𝑅 2 + . . . 𝑅 𝑧 = \sum 𝑅 𝑖

Bardzo ważne jest zauważyć, że kluczowe dla określenia czy elementy są połączone szeregowe jest stwierdzenie czy płynie przez nie taki sam prąd, będzie to lepiej widoczne w przykładach

Połączenie równolegle

Jeżeli elementy są połączone równolegle:

Napięcie na nich ma taką samą wartość
Konduktancja zastępcza jest sumą konduktancji poszczególnych elementów

𝐺 𝑧 = 𝐺 1 + 𝐺 2 + . . . 𝐺 𝑧 = \sum 𝐺 𝑖

Odwrotność rezystancji zastępczej jest sumą odwrotności rezystancji poszczególnych elementów

1 𝑅 𝑧 = 1 𝑅 1 + 1 𝑅 2 + . . . 1 𝑅 𝑧 = \sum 1 𝑅 𝑖

Bardzo ważne jest zauważyć, że kluczowe dla określenia czy elementy są połączone równolegle jest stwierdzenie czy występuje na nich takie samo napięcie

Dla jasności - bardzo rzadko jest naprawdę korzystnie użyć wzoru z konduktancją, ale pomaga on zobaczyć zależność która występuje dla takiego połączenia elementów

W praktyce warto też zapamiętać wzór dla dwóch elementów połaczonych równolegle:

1 𝑅 𝑧 = 1 𝑅 1 + 1 𝑅 2 = 𝑅 2 𝑅 1 \cdot 𝑅 1 + 𝑅 1 𝑅 2 \cdot 𝑅 1 1 𝑅 𝑧 = 𝑅 1 + 𝑅 2 𝑅 1 \cdot 𝑅 2 𝑅 𝑧 = 𝑅 1 \cdot 𝑅 2 𝑅 1 + 𝑅 2

Jeżeli kiedykolwiek najdzie Cię wątpliwość co jest w mianowniku a co w liczniku pamiętaj że na koniec musi Ci wyjść poprawna jednostka - $Ω$ , więc mnożenie MUSI być w liczniku ponieważ:

Ω \cdot Ω Ω + Ω = Ω 2 Ω = Ω

a nie:

Ω + Ω Ω \cdot Ω = Ω Ω 2 = 1 Ω

Połączenie mieszane (szeregowo – równoległe)

Osobiście bardzo nie lubię tego określenia :-) W praktyce połączenie mieszane trzeba i tak sprowadzić do superpozycji połączeń szeregowych i równoległych więc nie widzę szczególnego powodu dla wyróżniania tego jako osobnego przypadku.

Natomiast w tym miejscu pozwolę sobie na małą dygresję - każda rezystencja zastępcza jest liczona względem dwóch punktów (zacisków), to nie jest jakaś wartość absolutna a jedynie uproszczenie które stosujemy żeby ułatwić sobie życie

Rezystancja zastępcza z praw Kirchhoffa

BARDZO przydatnym podejściem do myślenia o rezystancji zastępczej, szczególnie w bardziej skomplikowanych i nieoczywistych przypadkach które pojawiają się czasami np. w zadaniach z Metody Thevenina jest podejście do niej od strony praw Kirchoffa.

Wyobraźmy sobie na chwilę że pomiędzy zaciskami AB względem których mamy policzyć rezystancję zastępczą występuje napięcie $𝑈 𝐴 𝐵$ które powoduje przepływ prądu $𝐼$

Oczywistym jest, że $𝑅 𝑧 = 𝑈 𝐴 𝐵 𝐼$

Dane:

𝑅 1 = 30 𝑅 2 = 20 𝑅 3 = 10

Korzystając ze wzorów dla połączenia szeregowego i równoległego:

𝑅 12 = 𝑅 1 \cdot 𝑅 2 𝑅 1 + 𝑅 2 = 12 𝑅 𝑧 𝐴 𝐵 = 𝑅 12 + 𝑅 3 = 22

Korzystając z praw Kirchhoffa:

𝐼 = 𝐼 1 + 𝐼 2 𝐼 1 \cdot 𝑅 1 = 𝐼 2 \cdot 𝑅 2 𝑈 𝐴 𝐵 = 𝐼 2 \cdot 𝑅 2 + 𝐼 \cdot 𝑅 3 𝑅 𝑧 𝐴 𝐵 = 𝑈 𝐴 𝐵 𝐼

Obliczamy:

𝐼 1 = 𝐼 2 \cdot 𝑅 2 𝑅 1 𝐼 = 𝐼 2 \cdot 𝑅 2 𝑅 1 + 𝐼 2 𝐼 2 = 𝑅 1 \cdot 𝐼 𝑅 2 + 𝑅 1 𝑈 𝐴 𝐵 = 𝑅 1 \cdot 𝐼 𝑅 2 + 𝑅 1 \cdot 𝑅 2 + 𝐼 \cdot 𝑅 3 𝑅 𝑧 𝐴 𝐵 = 𝑅 1 \cdot 𝐼 𝑅 2 + 𝑅 1 \cdot 𝑅 2 + 𝐼 \cdot 𝑅 3 𝐼 = 𝑅 1 𝑅 2 + 𝑅 1 \cdot 𝑅 2 + 𝑅 3 = 22

I jasne, że to nie jest de facto obliczanie rezystancji zastępczej, ale w bardziej złożonych przypadkach ten sposób myślenia potrafi bardzo pomóc chociaż same obliczenia z reguły będą bardziej skomplikowane