Funkcje kształtu MES

Czym są funkcje kształtu?

Funkcje kształtu danego elementu opisują rozkład parametrów w elemencie skończonym.

Co to oznacza w praktyce?

Jeżeli policzymy korzystając z MES np. wartość przemieszczeń w węzłąch trójkątnego elementu skończonego to nie znaczy, że znamy przemieszczenie dowolnego punktu tego elementu. Musimy więc dokonać interpolacji naszych wyników.

Funkcje kształtu muszą spełniać następujące warunki:

1. W i-tym węźle (czyli tym względem którego w danym momencie liczymy) musi być równa jeden

2. W pozostałych węzłąch musi być równa zero

3. Suma funkcji kształtu ZAWSZE wynosi jeden

Obliczenie funkcji kształtu dla elementu trójkątnego

Wprost z powyższych wynika w jaki sposób możemy wyznaczyć funkcje kształtu dowolnego elementu

Zapisujemy funkcje $𝑁 (𝑥, 𝑦) = 𝐴 \cdot 𝑥 + 𝐵 \cdot 𝑦 + 𝐶$ dla poszczególnych węzłów i rozwiązujemy powstałe układy równań

wezeł 1

𝑁 𝑖 (𝑥, 𝑦) = 𝐴 \cdot 𝑥 + 𝐵 \cdot 𝑦 + 𝐶 𝑁 1 (0, 2) = 𝐴 \cdot 0 + 𝐵 \cdot 2 + 𝐶 = 1 𝑁 1 (1, 0) = 𝐴 \cdot 1 + 𝐵 \cdot 0 + 𝐶 = 0 𝑁 1 (2, 2) = 𝐴 \cdot 2 + 𝐵 \cdot 2 + 𝐶 = 0 𝐴 = - 12 𝐵 = 14 𝐶 = 12 𝑁 1 (𝑥, 𝑦) = - 1 2 𝑥 + 14 𝑦 + 12

wezeł 2

𝑁 𝑗 (𝑥, 𝑦) = 𝐴 \cdot 𝑥 + 𝐵 \cdot 𝑦 + 𝐶 𝑁 2 (0, 2) = 𝐴 \cdot 0 + 𝐵 \cdot 2 + 𝐶 = 0 𝑁 2 (1, 0) = 𝐴 \cdot 1 + 𝐵 \cdot 0 + 𝐶 = 1 𝑁 2 (2, 2) = 𝐴 \cdot 2 + 𝐵 \cdot 2 + 𝐶 = 0 𝐴 = 0 𝐵 = - 1 2 𝐶 = 1 𝑁 2 (𝑥, 𝑦) = - 1 2 𝑦 + 1

wezeł 3

𝑁 𝑘 (𝑥, 𝑦) = 𝐴 \cdot 𝑥 + 𝐵 \cdot 𝑦 + 𝐶 𝑁 3 (0, 2) = 𝐴 \cdot 0 + 𝐵 \cdot 2 + 𝐶 = 0 𝑁 3 (1, 0) = 𝐴 \cdot 1 + 𝐵 \cdot 0 + 𝐶 = 0 𝑁 3 (2, 2) = 𝐴 \cdot 2 + 𝐵 \cdot 2 + 𝐶 = 1 𝐴 = 12 𝐵 = 14 𝐶 = - 1 2 𝑁 3 (𝑥, 𝑦) = 12 𝑥 + 14 𝑦 - 12

W praktyce jeżeli obliczamy funkcje kształu korzystając z komputera nie z kartki/długopisu/kalkluatora dużo więcej sensu ma równoważny zapis:

⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑥 3 𝑦 3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 021022 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥 3 𝑦 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ - 1 \to ⎡ ⎢ ⎣ - 12 012 14 - 12 14 121 - 12 ⎤ ⎥ ⎦ 𝑁 1 (𝑥, 𝑦) = 𝑎 1 \cdot 𝑥 + 𝑏 1 \cdot 𝑦 + 𝑐 1 \to 𝑦 4 + (12 - 𝑥 2) 𝑁 2 (𝑥, 𝑦) = 𝑎 2 \cdot 𝑥 + 𝑏 2 \cdot 𝑦 + 𝑐 2 \to - 𝑦 2 + 1 𝑁 3 (𝑥, 𝑦) = 𝑎 3 \cdot 𝑥 + 𝑏 3 \cdot 𝑦 + 𝑐 3 \to 𝑦 4 + (𝑥 2 - 12)

Jak widać wyniki są jednoznaczne i w obu przypadkach suma funkcji kształtu to jeden:

𝑁 1 (𝑥, 𝑦) + 𝑁 2 (𝑥, 𝑦) + 𝑁 3 (𝑥, 𝑦) = 1 𝑦 4 + 12 - 𝑥 2 - 𝑦 2 + 1 + 𝑦 4 + 𝑥 2 - 12 = 1

Jednoznaczność wyników wynika oczywiście z tego że drugie podejście nie jest niczym innym jak przedstawieniem macierzowym równań z podejścia pierwszego:

𝑁 1 = 𝑎 1 𝑥 + 𝑏 1 𝑦 + 𝑐 1

⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥 3 𝑦 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 100 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥 3 𝑦 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ - 1 ⎡ ⎢ ⎣ 100 ⎤ ⎥ ⎦

𝑁 2 = 𝑎 2 𝑥 + 𝑏 2 𝑦 + 𝑐 2

⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥 3 𝑦 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 010 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥 3 𝑦 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ - 1 ⎡ ⎢ ⎣ 010 ⎤ ⎥ ⎦

𝑁 3 = 𝑎 3 𝑥 + 𝑏 3 𝑦 + 𝑐 3

⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥 3 𝑦 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 3 𝑏 3 𝑐 3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 001 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 3 𝑏 3 𝑐 3 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥 3 𝑦 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ - 1 ⎡ ⎢ ⎣ 001 ⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥 3 𝑦 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ - 1

GRZEGORZ

MAZUR

Korepetytor

200 PLN

60 MIN

Kontakt

WhatsApp grzegorz@edupanda.pl

Zobacz mój profil na

Zarejestruj się

Funkcje kształtu MES

Czym są funkcje kształtu?

Obliczenie funkcji kształtu dla elementu trójkątnego

Kursy online

Korepetycje

Zarejestruj się

Zaloguj się