Aproksymacja MWLS

Metoda ważonych ruchomych najmniejszych kwadratów (WRNK) (ang. Moving Weighted Least Squares MWLS) jest stosunkowo nową i zaawansowaną metodą aproksymacji, która jest stosowana np. w bezelementowej metodzie Galerkina (BMG).

Nie będziemy analizować matematycznego tła tej metody, ponieważ jest ono mocno skomplikowane i szczerze, nie do końca potrzebne do nauki jej stosowania.

Tok rozwiązania dla przypadku 1D (jednowymiarowego):

1. Zapisujemy wartość funkcji korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora (w praktyce najczęściej Maclaurina, ponieważ w miarę możliwości przyjmujemy \(a=0\)):
   \[ \begin{aligned} f(x) &= f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots \\ &\quad + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{aligned} \]

   Dla \( a = 0 \):

   \[ \begin{aligned} f(x) &= f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \dots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \end{aligned} \]

   Stopień aproksymacji określa ilość elementów, którą badamy, czyli np. dla stopnia aproksymacji \( p=1 \) wzór zapisujemy wyłącznie do pierwszej pochodnej włącznie.

2. Zapisujemy funkcję błędu:
   \[ \begin{aligned} J &= (\tilde{u}_1 - u_1)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^{p+1-s}} \right)^2 \\ &\quad + (\tilde{u}_1 - u'_1)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^{p+1-s}} \right)^2 \\ &\quad + (\tilde{u}_2 - u_2)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^{p+1-s}} \right)^2 + \dots \end{aligned} \]

   Dla wszystkich elementów, które są znane.

3. Minimalizujemy funkcję błędu względem badanej wartości, np. \( u_1 \): \[ \begin{aligned} \frac{d}{du_1} J = 0 \end{aligned} \]

   I na tej podstawie wyliczamy szukaną wartość.