Ruch postępowy i obrotowy bryły

Opis ruchu płaskiego ciała sztywnego sprowadza się do opisu ruchu tarczy w płaszczyźnie xy. Tarcza ta jest przekrojem ciała przez tzw. płaszczyznę kierowniczą. Ruch płaski tarczy jest złożeniem ruchu postępowego w płaszczyźnie xy, odniesionego do wybranego punktu A oraz ruchu obrotowego wokół osi z'. Oś ta jest prostopadła do płaszczyzny xy i przechodzi przez punkt A. Składowa obrotowa jest określona przez prędkość kątową \(\omega\) i przyspieszenie kątowe \(\varepsilon\) Ruch postępowy jest opisany za pomocą wybranego punktu A ciała sztywnego. Określamy przemieszczenie \(\overline r_A(t)\), prędkość \(\overline V_A(t)\) i przyspieszenie \(\overline a_A(t)\)

Metoda wyznaczania prędkości punktów ciała sztywnego (twierdzenie o rzutach)

W ciele sztywnym wzajemne odległości punktów nie zmieniają się podczas ruchu, dlatego między prędkościami tych punktów zachodzą pewne związki.

Podczas dowolnego ruchu, rzuty wektorów prędkości dwóch jej dowolnych punktów na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Na rysunku przedstawiono wektory prędkości dwóch punktów A i B ciała sztywnego. Zmienne położenie tych punktów w przestrzeni opisują promienie wektory \(\overline r_A\) i \(\overline r_B\). Wektor \(\overline r\), którego początek znajduje się w punkcie A, a koniec w punkcie B, jest stały co do wartości. Twierdzenie o rzutach mówi, że \(V_B\cdot cos\beta = V_A\cdot cos\alpha\), gdzie \(\alpha\) i \(\beta\) są miarą rzutów prędkości punktów A i B na prostą poprowadzoną przez punktu A i B rozważanego ciała sztywnego. Zależność ta pozwala na wyznaczenie prędkości w niektórych zagadnieniach dotyczących kinematyki ciała sztywnego

rys1. Zależność między prędkościami punktów ciała sztywnego.

Ciało sztywne w ruchu obrotowym

Ciało sztywne jest w ruchu obrotowym, jeśli obraca się wokół stałej osi obrotu u. Tory ruchu wszystkich punktów ciała są okręgami w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu. Wyjątek stanowią punkty leżące na osi obrotu, które pozostają nieruchome.

W szczególnym przypadku obrotu wokół osi pionowej z, okręgi leżą w płaszczyznach poziomych, co pokazano na rys2. Kąt obrotu ciała \(\varphi (t)\) może być interpretowany jako wektor wzdłuż osi z. Wówczas:

\begin{aligned} &\overline \omega(t)=\frac{d\varphi(t)}{dt}\\ &\overline \varepsilon(t)=\frac{d\omega(t)}{dt}=\frac{d^2\varphi(t)}{dt^2}\\ \end{aligned}

rys2. Ruch obrotowy wokół pionowej osi z.

Początek układu xyz obieramy w dowolnym punkcie na osi z. Wówczas słuszne są związki

\begin{aligned} &\overline v(t)=\overline \omega(t)\times \overline r(t), &v(t)=\omega r'\\ &\overline a_t(t)=\overline \varepsilon(t)\times \overline r(t), &a_t(t)=\varepsilon r'\\ &\overline a_n(t)=\overline \omega(t)\times \overline V(t), &a_n(t)=\omega^2 r'\\ \\ &\text{gdzie: }\\ &r'=\overline{O'M}=rsin\alpha\\ \end{aligned}

Metoda superpozycji wyznaczania prędkości chwilowej

Rozpatrujemy tarcze w konfiguracji chwilowej (w chwili t>0). Dane są wektory \(\overline V_A, \overline \omega, \overline r\), gdzie \(\overline r\) jest promieniem punktu B względem punktu A (rysunek poniżej). Złożenie ruchu postępowego i obrotowego tarczy prowadzi do wzorów:

\begin{aligned} &\overline V_B=\overline V_A+\overline V_{BA} \\ & \overline V_{BA}=\overline \omega \times \overline r\\ & \text{gdzie: }\\ &V_{BA}=\omega r\\ \end{aligned}

Zauważmy, że wektor \(\overline \omega\) jest prostopadły do wektora \(\overline r\), stąd \(V_{BA}=\omega r sin90^o=\omega r\).

rys3

W konfiguracji chwilowej wektory \(\overline V_A, \overline V_{BA}\) sumujemy analitycznie, tzn. składowe wektora \(\overline V_B\) wynoszą:

\begin{aligned} &V_{Bx}=V_{Ax}+V_{BAx}\\ &V_{By}=V_{Ay}+V_{BAy}\\ \end{aligned}

lub wykreślnie w przyjętej skali. Moduł wektora \(V_B{/latex] można liczyć bezpośrednio

\begin{aligned} &V_B=\sqrt{V_A^2+(\omega r)^2+2V_A\cdot \omega r cos\alpha} \end{aligned}

Chwilowy środek obrotu

W danej chwili t>0, tarczy będącej w ruchu płaskim odpowiada punkt C, zwany chwilowym środkiem obrotu, którego prędkość \(\overline V_C=0\). Położenie punktu C zmienia się w czasie. Prędkości punktów tarczy wynoszą (rys4):

\begin{aligned} &\overline V_A=\overline \omega \times \overline r_A, &V_A=\omega r_A\\ &\overline V_B=\overline \omega \times \overline r_B, &V_B=\omega r_B\\ \end{aligned}

rys4.

Jeżeli dane są wektory \(\overline V_A, \overline \omega\) , to wyznaczenie chwilowego środka obrotu C polega na znalezieniu odległości między punktami C i A ze wzoru: \(r_A=\frac{V_A}{\omega}\) i narysowaniu promienia \(r_A\) prostopadle do \(\overline V_A\) (rys5).

rys5.

Jeśli dana jest prędkość \(\overline V_A\) i kierunek \( \overline V_B\), to chwilowy środek obrotu C leży na przecięciu kierunków \(r_A i r_B\). Wartość prędkości kątowej (rys6.) wyznaczamy ze wzoru \(\omega = \frac{V_A}{r_A}\)

rys6.

Jeśli dane są prędkości \(\overline V_A || \overline V_B\) (rys7.) to chwilowy środek obrotu C wyznaczamy z twierdzenia Talesa

\begin{aligned} &\frac{V_A}{r_A}=\frac{V_B}{r_B} \Rightarrow V_A\cdot r_B=V_B\cdot r_A\\ \end{aligned}

Przy czym dana jest zależność \(r_B-r_A=d\) (rys7a) lub \(r_A+r_B=d\) (rys7b)

rys7.

Metoda superpozycji wyznaczania przyspieszenia chwilowego

Rozpatrujemy tarczę w konfiguracji chwilowej (w chwili t>0). Dane są wektory \(\overline a_A, \overline \omega, \overline \varepsilon, \overline r\), gdzie \( \overline r\) jest promieniem punktu B względem punktu A (rys8.). Złożenie ruchu postępowego i obrotowego tarczy prowadzi do wzorów:

\begin{aligned} &\overline a_B=\overline a_A+\overline a_{BA}=\overline a_A+\overline a_{BA}^t+\overline a_{BA}^n\\ &\overline a_{BA}^t=\overline \varepsilon \times \overline r, & a_{BA}^t=\varepsilon r\\ &\overline a_{BA}^n=\overline \omega \times \overline V_{BA}, & \overline V_{BA}=\overline \omega \times \overline r, && a_{BA}^n=\omega ^2 r\\ \end{aligned}

rys8.

W chwili konfiguracji, wektory \( \overline a_A, \overline a_{BA}^t, \overline a_{BA}^n\) sumujemy analitycznie lub wykreślnie. Moduł wektora \( \overline a_B\) można obliczyć bezpośrednio (rys8):

\begin{aligned} &a_B=\sqrt{a_A^2+a_{BA}^2+2a_A\cdot a_{BA}\cdot cos\alpha}\\ &a_{BA}=r\sqrt{\varepsilon ^2 + \omega ^4} \end{aligned}