Zginanie proste - wzór na naprężenia

1. Wprowadzenie

Zginanie proste to jeden z podstawowych przypadków obciążenia belek, w którym moment zginający działa w jednej płaszczyźnie, powodując powstanie naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym belki. Celem tego wyprowadzenia jest uzyskanie zależności opisującej rozkład tych naprężeń w przekroju belki.

2. Założenia

Przyjmujemy następujące założenia:

• - Materiał belki jest jednorodny i izotropowy, co oznacza, że jego właściwości są takie same we wszystkich kierunkach.
• - Obowiązuje prawo Hooke'a, czyli istnieje liniowa zależność między naprężeniem a odkształceniem.
• - Przekroje poprzeczne belki, które przed odkształceniem były płaskie i prostopadłe do osi podłużnej, pozostają płaskie i prostopadłe także po odkształceniu (hipoteza płaskich przekrojów).
• - Belka jest smukła, co oznacza, że jej długość jest znacznie większa niż wymiary przekroju poprzecznego.

3. Analiza geometryczna odkształcenia

Rozważmy belkę poddaną momentowi zginającemu M, który powoduje jej wygięcie w łuk o promieniu krzywizny ρ. W wyniku tego odkształcenia włókna znajdujące się powyżej pewnej warstwy środkowej ulegają skróceniu (ściskanie), a te poniżej – wydłużeniu (rozciąganie). Warstwa, która nie ulega odkształceniu, nazywana jest warstwą obojętną, a jej przecięcie z przekrojem poprzecznym to oś obojętna.

3.1. Odkształcenie włókien

Włókno w odległości \( y \) od osi obojętnej ma odkształcenie:

\[ \varepsilon = \frac{y}{\rho} \]

\( \varepsilon \) – odkształcenie względne włókna

4. Zależność między naprężeniem a odkształceniem

Z prawa Hooke'a:

\[ \sigma = E \cdot \varepsilon \]

Podstawiając:

\[ \sigma = E \cdot \frac{y}{\rho} \]

5. Warunki równowagi

Suma momentów naprężeń względem osi obojętnej równa się momentowi zginającemu:

\[ M = \int_A \sigma y \, dA \]

Podstawiając \( \sigma \):

\[ M = \int_A \left(E \cdot \frac{y}{\rho} \right) y \, dA = \frac{E}{\rho} \int_A y^2 \, dA \]

\[ M = \frac{E \cdot I}{\rho} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\rho} = \frac{M}{E \cdot I} \]

6. Ostateczny wzór na naprężenia

Podstawiając do wzoru na \( \sigma \):

\[ \sigma = E \cdot y \cdot \frac{M}{E \cdot I} = \frac{M \cdot y}{I} \]

Ostateczny wzór:

\[ \boxed{\sigma = \frac{M \cdot y}{I}} \]

Gdzie:

• \( \sigma \) – naprężenie normalne [Pa]
• \( M \) – moment zginający [Nm]
• \( y \) – odległość od osi obojętnej [m]
• \( I \) – moment bezwładności względem osi obojętnej [m⁴]

7. Podsumowanie

Wyprowadzenie wzoru opiera się na hipotezie płaskich przekrojów, analizie geometrii odkształcenia, prawie Hooke'a i równowadze momentów. Wzór ten jest podstawą do projektowania belek w mechanice i wytrzymałości materiałów.