Całkowanie graficzne

Jeśli interesuje Cię praktyczne zastosowanie metody Wereszczagina na większej ilości przykładów oraz chcesz zobaczyć kilka cennych wskazówek odnośnie rozkładu figur bardziej złożonych na figury proste do całkowania graficznego - zajrzyj tutaj.

Wyprowadzenie metody Wereszczagina (całkowanie graficzne)

Uproszczony wzór Maxwella-Mohra do liczenia ugięć
(wpływ samych momentów zginających)

\[ u = \int_0^l \frac{M_g(x) \cdot M_1(x)}{EI} \, dx \]

gdzie:

• \( M_g(x) \) – wykres (funkcja) momentów zginających w stanie rzeczywistym, czyli w stanie od działania sił zewnętrznych.
• \( M_1(x) \) – wykres (funkcja) momentów w stanie jednostkowym, czyli w stanie od przyłożonej siły jednostkowej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.
• \( EI \) – sztywność na zginanie belki, gdzie:
  • \( E \) – moduł Younga (sprężystość materiału),
  • \( I \) – moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej.
• \( u \) – szukane przemieszczenie.
• \( l \) – długość odcinka belki, po którym wykonywana jest całka.

Wyprowadzenie metody Wereszczagina polega na przeanalizowaniu powyższego wzoru (bez sztywności na zginanie, jest to pewna stała, której wartość możemy podstawić na końcu).

Krok 1

zapisanie i wstępne przekształcenie wzoru

\( u = \int M_g \cdot M_1 \, dx \) – tutaj \( M_1 \) to będzie wykres pochodzący tylko od sił skupionych i momentów skupionych, więc nigdy nie będzie paraboliczny, bo funkcja momentów nigdy nie będzie kwadratowa, zawsze liniowa.

Wobec powyższego możemy przyjąć: \( \textcolor{red}{ M_1 = a \cdot x + b } \)

\[ \begin{aligned} u &= \int M_g \cdot \left( \textcolor{red}{a \cdot x + b} \right) \, dx = \int M_g \cdot \textcolor{red}{a \cdot x} \, dx + \int M_g \cdot \textcolor{red}{b} \, dx \end{aligned} \]

Krok 2

Zauważenie we wzorze wyrażeń \(\int M_g \, dx\) oraz \(\int M_g \cdot x \, dx\), gdzie:

• \(\Omega = \int M_g \, dx\) – pole figury, która jest na wykresie w stanie P,
• \(S_x = \int M_g \cdot x \, dx\) – takie wyrażenie nazywamy statycznym momentem bezwładności, i inaczej możemy zapisać: \[ S_x = \Omega \cdot x_c \]

Podstawiając \(\Omega\) oraz \(S_x = \Omega \cdot x_c\) do wzoru Maxwella-Mohra, otrzymujemy:

\[ u = \Omega \cdot x_c \cdot a + \Omega \cdot b = \Omega \cdot (a \cdot x_c + b) \]

W poprzednim kroku przyjęliśmy, że funkcja momentu w stanie jednostkowym \(M_1 = a \cdot x + b\).

Jeżeli do tej funkcji podstawimy za \(x\) wartość \(x_c\), to otrzymujemy wartość momentu w stanie jednostkowym dla przyjętej współrzędnej \(x\).

Krok 3

Zauważamy, że we wzorze mamy w nawiasie wyrażenie \(a \cdot x_c + b\), które oznacza wartość momentu jednostkowego w punkcie, gdzie wypada środek ciężkości figury z wykresu \(M_g\).

Jeśli oznaczymy tę wartość jako \[ \eta = a \cdot x_c + b, \] to możemy pierwotny wzór Maxwella-Mohra: \[ u = \int M_g \cdot M_1 \, dx \] zapisać jako: \[ u = \Omega \cdot \eta, \] gdzie:

• \(\Omega\) – pole pod wykresem momentów w stanie P,
• \(\eta\) – wartość momentu jednostkowego w miejscu środka ciężkości tej figury.

Przykład

Prościej będzie zrozumieć wyżej opisane wyprowadzenie i przekonać się o jego słuszności na przykładzie.

Rys1. Temat zadania

Rozważmy przypadek belki podpartej podporą przegubową-przesuwną oraz łyżwą pionową, obciążenie momentem skupionym 10PL oraz siłą skupioną 5P.
Do policzenia przemieszczenie pionowe punktu B oraz kąt obrotu podpory A.

Pominiemy szczegóły - tzn. wyznaczenie reakcji, tłumaczenie rysowania wykresu momentów, spójrzmy poniżej jak wygląda wykres momentów zginających dla przypadku zadanego obciążenia zewnętrznego.

Rys2. Wykres momentów - stan początkowy

Reakcja pionowa na lewej podporze wynosi 5P ze zwrotem w dół, funkcja momentu zginającego zapisana od lewej strony:

\[ M g(x)=10 P L-5 P \cdot x \] Następny krok to narysowanie wykresów momentów od sił jednostkowych przyłożonych w miejscach i na kierunkach szukanych przemieszczeń.

Rys3. Wykresy momentów - stany jednostkowe

W pierwszym przypadku reakcja pionowa na lewej podporze wynosi 1 ze zwrotem do góry, funkcja momentu zginającego zapisana od lewej strony oraz granice tej funkcji dla pierwszego przypadku:

\[ \begin{aligned} & M_1(x)=1 \cdot x \\ & x \in<0 ; 5) \end{aligned} \]

Obliczenie ugięcia używając funkcji momentów

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{u} &= \frac{1}{EI} \int_0^{5l}(10Pl - 5P \cdot x) \cdot x \, dx =\\ &= \frac{1}{EI} \left( \int_0^{5l} 10Pl \cdot x \, dx - \int_0^{5l} 5P \cdot x^2 \, dx \right) =\\ &= \frac{1}{EI} \left( 10Pl \int_0^{5l} x \, dx - 5P \int_0^{5l} x^2 \, dx \right) =\\ &= \frac{1}{EI} \left( 10Pl \cdot \frac{(5l)^2}{2} - 5P \cdot \frac{(5l)^3}{3} \right) =\\ &= \frac{1}{EI} \left( 125Pl^3 - \frac{625}{3}Pl^3 \right) =\\ &= \frac{-250}{3} \cdot \frac{Pl^3}{EI} \end{aligned} \]
Znamy wynik całkując funkcje analitycznie, przetestujmy więc na tym samym przykładzie całkowanie graficzne:

Rys4. Rozkład na figury proste, opisanie figur według wyprowadzonego wzoru Wereszczagina

Obliczenia używając metody Wereszczagina
\[ \begin{aligned} & u=\frac{1}{E I} \cdot \Omega \cdot \eta \\ & \boldsymbol{u}=\frac{1}{E I}\left(\Omega_1 \cdot \eta_1+\Omega_2 \cdot \eta_2\right)= \\ & =\frac{1}{E I} \cdot\left(-\frac{1}{2} \cdot 15 P l \cdot 5 l \cdot\left(\frac{2}{3} \cdot 5 l\right)+\frac{1}{2} \cdot 10 P l \cdot 5 l \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 5 l\right)\right) =\\ & =\frac{1}{E I} \cdot\left(-125 P l^3+\frac{125 P l^3}{3}\right)=\frac{-250\cdot Pl^3}{3E I} \end{aligned} \] Wynik zgadza się z metodą całkowania analitycznego.

Dla przećwiczenia zostawiamy Wam obliczenie kąta obrotu w punkcie A,
spodziewajcie się wyniku (=-12,5/EI) :-)