Stopień statycznej niewyznaczalności

SSN=3-3=0

Liczba stopni swobody dynamicznej

LSSD=2
\( m_1=m\\ m_2=2m\)

Wykresy momentów od sił jednostkowych przyłożonych w miejscu swobód dynamicznych

Delty dynamiczne $$ \begin{aligned} &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\right)=9 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\right)=\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2+\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2\right)=\frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ Częstości drgań (uwaga, podejść do obliczania częstości drgań jest kilka, więcej we wstępie teoretycznym - LINK) $$ \mathrm{L}=\mathrm{m}_1 \cdot \delta_{11}+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{22}=\frac{43}{3} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{EI}} $$ $$ \begin{aligned} &\mathrm{S}=2 \cdot \mathrm{m}_1 \cdot \mathrm{m}_2 \cdot\left(\delta_{11} \cdot \delta_{22}-\delta_{12}^2\right)=\frac{80}{9} \cdot\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{EI}}\right)^2 \\ &\omega_1=\sqrt{\frac{\mathrm{L}-\sqrt{\mathrm{L}^2-2 \cdot \mathrm{S}}}{\mathrm{S}}}=0.267 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \\ &\omega_2=\sqrt{\frac{\mathrm{L}+\sqrt{\mathrm{L}^2-2 \cdot \mathrm{S}}}{\mathrm{S}}}=1.776 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \end{aligned} $$ Po podstawieniu danych \( \quad \mathrm{EI}=2.1 \times 10^5 \cdot \mathrm{kNm}^2 \quad \mathrm{~m}=200 \mathrm{~kg} \) $$ \begin{aligned} &\omega_1=0.267 \sqrt{\frac{2.1 \cdot 10^5 \cdot 10^3}{200}}=273.59 \cdot \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \\ &\omega_2=1.776 \sqrt{\frac{2.1 \cdot 10^5 \cdot 10^3}{200}}=1819.86 \cdot \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \end{aligned} $$ Amplitudy drgań (więcej o podejściu do obliczenia amplitud drgań we wstępie - LINK) $$ \mathrm{A}_2=\frac{1-\delta_{11} \cdot \mathrm{m}_1 \cdot \omega^2}{\delta_{12} \cdot \mathrm{m}_2 \cdot \omega^2} \cdot \mathrm{A}_1 $$ zakładam \( \quad \mathrm{A}_{11}=1 \quad dla \quad \omega_1=0.267 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \) $$ \mathrm{A}_{21}=\frac{1-\frac{9}{\mathrm{EI}} \cdot 1 \mathrm{~m} \cdot\left(0.267 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2}{\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot 2 \mathrm{~m} \cdot\left(0.267 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2} \cdot \mathrm{A}_{11}=0.539 $$ zakładam \( \quad \mathrm{A}_{12}=1 \quad dla \quad \omega_2=1.776 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \) $$ \mathrm{A}_{22}=\frac{1-\frac{9}{\mathrm{EI}} \cdot 1 \mathrm{~m} \cdot\left(1.776 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2}{\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot 2 \mathrm{~m} \cdot\left(1.776 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2} \cdot \mathrm{A}_{12}=-0.93 $$ Warunek ortogonalności $$ \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{12} \cdot \mathrm{m}_1+\mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{22} \cdot \mathrm{m}_2=0 $$ \( 1 \cdot 1 \cdot 1 \mathrm{~m}+0.539 \cdot(-0.93) \cdot 2 \mathrm{~m}=0 \)
\( -0,002 m \sim 0 \)
warunek spełniony.

Postacie drgań

Siły bezwładności (patrz wstęp teoretyczny) $$ \begin{aligned} &\delta_{11 \mathrm{~B}} \cdot \mathrm{B}_1+\delta_{12} \cdot \mathrm{B}_2+\Delta_{1 \mathrm{p}}=0 \\ &\delta_{21} \cdot \mathrm{B}_1+\delta_{22 \mathrm{~B}} \cdot \mathrm{B}_2+\Delta_{2 \mathrm{p}}=0 \end{aligned} $$ Częstość wymuszająca $$ \begin{aligned} &\theta=\frac{\omega_1+\omega_2}{2} \\ &\theta=\frac{1}{2}\left(0.267 \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}}+1.776 \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}}\right)=1.022 \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}} \end{aligned} $$ Delty bezwładności $$ \begin{aligned} &\delta_{11 \mathrm{~B}}=\delta_{11}-\frac{1}{\mathrm{~m}_1 \cdot \theta^2} \\ &\delta_{11 \mathrm{~B}}=\frac{9}{\mathrm{EI}}-\frac{1}{\mathrm{~m} \cdot\left(1.022 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2}=8.043 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{22 \mathrm{~B}}=\delta_{22}-\frac{1}{\mathrm{~m}_2 \cdot \theta^2} \\ &\delta_{22 \mathrm{~B}}=\frac{8}{3 \mathrm{EI}}-\frac{1}{2 \mathrm{~m} \cdot\left(1.022 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2}=2.188 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\Delta_{1 \mathrm{p}}=\delta_{11} \cdot \mathrm{P}_{01}+\delta_{12} \cdot \mathrm{P}_{02} \\ &\Delta_{2 \mathrm{p}}=\delta_{21} \cdot \mathrm{P}_{01}+\delta_{22} \cdot \mathrm{P}_{02} \\ &\text{gdzie:} \\ &\mathrm{P}_{01}=\mathrm{P}=10 \cdot \mathrm{kN} \quad \text{- siła wymuszająca na kierunku q1} \\ &\mathrm{P}_{02}=0 \quad \text{- siła wymuszająca na kierunku q2} \\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\Delta_{1 \mathrm{p}}=\frac{9}{\mathrm{EI}} \cdot \mathrm{P}_{01}+\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{P}_{02}=90 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\Delta_{2 \mathrm{p}}=\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{P}_{01}+\frac{8}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{P}_{02}=46.667 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ Rozwiązanie układu równań, obliczenie sił bezwładności $$ \begin{aligned} &\frac{8.043}{\mathrm{EI}} \cdot \mathrm{B}_1+\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{B}_2+\frac{90}{\mathrm{EI}}=0 \\ &\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{B}_1+\frac{2.188}{\mathrm{EI}} \cdot \mathrm{B}_2+\frac{46.667}{\mathrm{EI}}=0 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\mathrm{B}_1=-4.99 \cdot \mathrm{kN} \\ &\mathrm{B}_2=-10.68 \cdot \mathrm{kN} \end{aligned} $$ Plan sił
Na planie sił zaznaczamy obciążenie ramy od siły wymuszającej, ciężaru mas oraz obliczonych właśnie sił bezwładności.
Ponieważ ruch siły wymuszającej ma charakter sinusowy, to oznacza że w skrajnych przypadkach siła jest wychylona w jedną lub w drugą stronę z całą swoją wartością.
Zaznaczamy to na rysunku, przy czym na pierwszym rysunku zaznaczamy zwrot zgodny z tym podanym na temacie, na drugim rysunku zwrot przeciwny.
Następnie zaznaczamy siły bezwładności - na pierwszym rysunku zwroty sił bezwładności zgodne z założonymi na początku zadania zwrotami q1 i q2 (patrz początkowy rysunek); na drugim rysunku zwroty przeciwne (zmieniają zwrot tak samo jak siła wymuszająca).
Jeszcze raz - niezależnie od tego czy B1 i B2 wyszły dodanie czy ujemne zaznaczamy zwroty jak powyżej. Znak sił bezwładności decyduje o tym, czy dany zwrot zostaje (jeśli siła jest dodatnia), czy należy go zmienić (jeśli siła jest ujemna).
Ciężar od mas - w celu obliczenia go przemnażamy masę przez przyspieszenie ziemskie g. Zwroty na obydwóch rysunkach zgodnie z siłą ciężkości - pionowo w dół.
$$ \mathrm{mg}=0.200 \cdot 9.81=1.96 \cdot \mathrm{kN} $$

\begin{aligned} &\left\{\begin{array} { l } { \mathrm { x } _ { 1 } = \mathrm { P } + \mathrm { B } _ { 1 } + \mathrm { mg } } \\ { \mathrm { x } _ { 2 } = \mathrm { B } _ { 2 } + 2 \mathrm { mg } } \end{array} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x}_1=-\mathrm{P}-\mathrm{B}_1+\mathrm{mg} \\ \mathrm{x}_2=-\mathrm{B}_2+2 \mathrm{mg} \end{array}\right.\right.\\ \\ \\ &\left\{\begin{array} { l } { \mathrm { x } _ { 1 } = 6 . 9 7 2 \mathrm { kN } } \\ { \mathrm { x } _ { 2 } = - 6 . 7 5 6 \mathrm { kN } } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x}_1=-3.048 \mathrm{kN} \\ \mathrm{x}_2=14.604 \mathrm{kN} \end{array}\right.\right. \end{aligned}